Solución

Aunque DD no está simplemente conectado, podemos usar la forma extendida del teorema de Green para calcular la integral. Dado que la integración ocurre sobre un anillo, convertimos a coordenadas polares:

∮∂D(sen  x−y33)dx+(y33+sen  y)dy=∬D(Qx−Py)dA=∬D(x2+y2)dA=∫02π∫12r3drdθ=∫02π154dθ=15π2\begin{aligned} \oint_{\partial D}\bigg(sen\; x - \frac{y^3}{3}\bigg)dx + \bigg(\frac{y^3}{3} +sen\;y\bigg)dy &= \iint_D (Q_x - P_y)dA\\ &= \iint_D\big(x^2 + y^2\big)dA\\ &= \int_0^{2\pi}\int_1^2 r^3drd\theta = \int_0^{2\pi} \frac{15}{4}d\theta\\ &= \frac{15\pi}{2} \end{aligned}