Solución

Sea P(x,y)=exsen  yP (x, y) = e^x sen\; y y Q(x,y)=excos  yQ (x, y) = e^xcos\; y. Observa que el dominio de F\bold{F} es todo de dos espacios, que está simplemente conectado. Por lo tanto, podemos verificar las parciales cruzadas de F\bold{F} para determinar si F\bold{F} es conservativo. Ten en cuenta que Py=excos  y=QxP_y = e^xcos\; y = Q_x, por lo que F\bold{F} es conservativo. Dado que Px=exsen  yPx = e^x sen\; y y Qy=exsen  y,Px+Qy=0Q_y = e^x sen \;y, P_x + Q_y = 0 y el campo está libre de fuentes.

Para encontrar una función potencial para F\bold{F}, sea ff una función potencial. Entonces, ∇f=F\nabla f = \bold{F}, entonces fx=exsen  yfx = e^x sen\; y. La integración de esta ecuación con respecto a xx da f(x,y)=exsen  y+h(y)f (x, y) = e^xsen\; y + h (y). Como fy=excos  yf_y = e^xcos \;y, la diferenciación de ff con respecto a yy da excos  y=excos  y+h′(y)e^xcos\; y = e^xcos\; y + h^{\prime}(y). Por lo tanto, podemos tomar h(y)=0h (y) = 0, y f(x,y)=exsen  yf (x, y) = e^xsen\; y es una función potencial para ff.

Para verificar que ff es una función armónica, ten en cuenta que fxx=∂∂x(exsen  y)=exsen  yf_{xx} = \frac{\partial}{\partial x} (e^x sen\;y) = e^xsen\;y y fyy=∂∂y(excos  y)=−exsen  yf_{yy} = \frac{\partial}{\partial y} (e^x cos\;y) = -e^xsen\;y

Por lo tanto, fxx+fyy=0f_{xx} + f_{yy} = 0 y ff satisface la ecuación de Laplace.