Solución

Para calcular el flujo sin el teorema de Green, necesitaríamos dividir la integral de flujo en tres integrales de línea, una integral para cada lado del triángulo. Usar el teorema de Green para transformar la integral de la línea de flujo en una sola integral doble es mucho más simple.

Sea DD la región encerrada por SS. Observa que Px=2xP_x = 2x y Qy=1Q_y = 1; por lo tanto, Px+Qy=2x+1P_x + Q_y = 2x + 1. El teorema de Green se aplica solo a curvas cerradas simples orientadas en sentido antihorario, pero aún podemos aplicar el teorema porque ∮CF⋅Nds=−∮−SF⋅Nds\oint_C\bold{F}\cdot \bold{N}ds = -\oint_{-S}\bold{F}\cdot \bold{N}ds y −S−S está orientado en sentido antihorario. Según el teorema de Green, el flujo es

∮CF⋅Nds=−∮−SF⋅Nds=−∬D(Px+Qy)dA=−∬D(2x+1)dA\begin{aligned} \oint_C\bold{F}\cdot \bold{N}ds &= -\oint_{-S}\bold{F}\cdot \bold{N}ds\\ &= -\iint_D (P_x + Q_y)dA\\ &= -\iint_D (2x + 1)dA \end{aligned}

Observa que el borde superior del triángulo es la recta y=−3x+3y = −3x + 3. Por lo tanto, en la integral doble iterada, los valores de yy van desde y=0y = 0 hasta y=−3x+3y = −3x + 3, y tenemos

−∬D(2x+1)dA=−∫01∫0−3x−3(2x+1)dydx=−∫01(2x+1)(−3x+3)dx=−∫01(−6x2+3x+3)dx=−[−2x3+3x22+3x]01=−52\begin{aligned} -\iint_D (2x + 1)dA &= -\int_0^1\int_0^{-3x-3} (2x+1)dydx\\ &= -\int_0^1 (2x + 1)(−3x + 3)dx = −\int_0^1 (-6x^2 + 3x + 3)dx\\ &= -\bigg[ -2x^3 + \frac{3x^2}{2} + 3x\bigg]_0^1 = -\frac52 \end{aligned}