Solución

Para visualizar este campo vectorial, primero observa que el producto escalar F(a,b)⋅(ai+bj)\bold{F} (a, b) \cdot (a\bold{i} + b\bold{j}) es cero para cualquier punto (a,b)(a, b). Por lo tanto, cada vector es tangente al círculo en el que se encuentra. Además, cuando (a,b)→(0,0)(a, b) \rarr (0, 0), la magnitud de F(a,b)\bold{F} (a, b) llega al infinito. Para ver esto, ten en cuenta que

∣∣f(a,b)∣∣=a2+b2(a2+b2)2=1a2+b2||\bold{f}(a,b)|| = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{(a^2+b^2)^2}} = \sqrt{\frac{1}{a^2+b^2}}

Por lo tanto 1a2+b2→∞\frac{1}{a^2+b^2} \rarr \infin mientras (a,b)→(0,0)(a,b) \rarr (0,0), entonces ∣∣f(a,b)∣∣→∞||\bold{f}(a,b)|| \rarr \infin mientras (a,b)→(0,0)(a,b) \rarr (0,0). Este campo vectorial se parece al campo vectorial del ejemplo anterior, pero en este caso las magnitudes de los vectores cercanos al origen son grandes. La siguiente tabla presenta una muestra de puntos y los vectores correspondientes, y la figura muestra el campo vectorial.

Observa que este campo vectorial modela el movimiento del remolino del río en la figura 6.2(b). El dominio de este campo vectorial es todo R2\Reals^2 excepto el punto (0,0)(0, 0).

(x,y)(x,y)F(x,y)\bold{F}(x,y)(x,y)(x,y)F(x,y)\bold{F}(x,y)(x,y)(x,y)F(x,y)\bold{F}(x,y)
(1,0)(1,0)⟨0,−1⟩\lang 0,-1\rang(2,0)(2,0)⟨0,−12⟩\lang 0,-\frac12\rang (1,1)(1,1)⟨12,−12⟩\lang \frac12,-\frac12\rang
(0,1)(0,1)⟨1,0⟩\lang 1,0\rang(0,2)(0,2)⟨12,0⟩\lang \frac12,0\rang (−1,1)(-1,1)⟨12,12⟩\lang \frac12,\frac12\rang
(−1,0)(-1,0)⟨0,1⟩\lang 0,1\rang (−2,0)(-2,0)⟨0,12⟩\lang 0,\frac12\rang (−1,−1)(-1,-1)⟨−12,12⟩\lang -\frac12,\frac12\rang
(0,−1)(0,-1)⟨−1,0⟩\lang -1,0\rang (0,−2)(0,-2)⟨−12,0⟩\lang -\frac12,0\rang (1,−1)(1,-1)⟨−12,−12⟩\lang -\frac12,-\frac12\rang

Figura 6.6. (a) Una representación visual del campo vectorial F(x,y)=yx2+y2i+xx2+y2j\bold{F} (x, y) = \frac{y}{x^2+y^2}\bold{i} + \frac{x}{x^2+y^2}\bold{j}. Este campo vectorial podría usarse para modelar el movimiento de remolino de un fluido.