Solución

Sea $C$ la elipse y sea $D$ la región encerrada por $C$ . Recuerda que la elipse $C$ puede parametrizarse mediante

x = a cos\; t, y = b sen\; t, 0 \le t \le 2\pi

}

Calcular el área de $D$ es equivalente a calcular la integral doble $\int_DdA$ . Para calcular esta integral sin el teorema de Green, necesitaríamos dividir $D$ en dos regiones: la región por encima del eje $xy$ la región por debajo.

El área de la elipse es

\int_{-a}^a\int_0^{\sqrt{b^2-(bx/a)^2}}dydx + \int_{-a}^a\int_{-\sqrt{b^2-(bx/a)^2}}^0 dydx

Estas dos integrales no son fáciles de calcular (aunque cuando conocemos el valor de la primera integral, conocemos el valor de la segunda por simetría). En lugar de intentar calcularlas, usamos el teorema de Green para transformar $\int_DdA$ en una integral de línea alrededor del límite $C$ .

Considera el campo vectorial

\bold{F}(x,y) = \lang P,Q\rang = \big\lang -\frac{y}{2}, \frac{x}{2}\big\rang

Entonces, $Q_x = \frac12$ y $P_y = -\frac12$ , y por lo tanto $Q_x - P_y = 1$ . Observa que $\bold{F}$ fue elegido para tener la propiedad de que $Q_x - P_y = 1$ . Dado que este es el caso, el teorema de Green transforma la integral de línea de $\bold{F}$ sobre $C$ en la integral doble de $1$ sobre $D$ .

Según el teorema de Green,

\begin{aligned} \iint_D dA &= \iint_D (Q_x − P_y)dA\\ &= \int_C \bold{F}\cdot d\bold{r} = \frac12\int_C −ydx + xdy\\ &= \frac12 \int_0^{2\pi} −b sen\; t(−a sen\; t) + a(cos\; t)b cos\; tdt\\ &= \frac12\int_0^{2\pi} ab cos^2t + ab sen^2tdt = \frac12 \int_0^{2\pi} abdt = \pi ab \end{aligned}

Por lo tanto, el área de la elipse es $\pi ab$ .