Solución

Sea F(x,y)=⟨P(x,y),Q(x,y)⟩=⟨x2y,y−3⟩\bold{F} (x, y) = \lang P (x, y), Q (x, y)\rang = \lang x^2y, y - 3\rang. Entonces, Qx=0Q_x = 0 y Py=x2P_y = x^2. Por lo tanto, Qx−Py=−x2Q_x - P_y = −x^2.

Sea DD la región rectangular encerrada por CC (ver la siguiente figura). Según el teorema de Green,

∮Cx2ydx+(y−3)dy=∬D(Qx−Py)dA=∬D−x2dA=∫15∫14−x2dxdy=∫15−21dy=−84\begin{aligned} \oint_C x^2ydx + (y-3)dy &= \iint_D (Q_x − P_y)dA\\ &= \iint_D -x^2 dA = \int_1^5\int_1^4 -x^2 dxdy\\ &= \int_1^5 -21dy = -84 \end{aligned}

Figura 6.35. La integral de línea sobre el límite del rectángulo se puede transformar en una integral doble sobre el rectángulo.

Análisis

Si tuviéramos que evaluar esta integral de línea sin usar el teorema de Green, necesitaríamos parametrizar cada lado del rectángulo, dividir la integral de línea en cuatro integrales de línea separadas y usar los métodos de Integrales de línea para evaluar cada integral. Además, dado que el campo vectorial aquí no es conservativo, no podemos aplicar el Teorema Fundamental para Integrales de Línea. El teorema de Green simplifica mucho el cálculo