Solución

Demostramos que F\bold{F} realiza un trabajo positivo en la partícula mostrando que F\bold{F} es conservativa y luego usando el Teorema Fundamental para Fntegrales de Línea.

Para demostrar que F\bold{F} es conservativa, supón que f(x,y)f (x, y) fuera una función potencial para F\bold{F}. Entonces, ∇f=F=⟨2xy2,2x2y⟩\nabla f = \bold{F} = \lang 2xy^2, 2x^2y\rang y por lo tanto fx=2xy2f_x = 2xy^2 y fy=2x2yf_y = 2x^2y. La ecuación fx=2xy2f_x = 2xy^2 implica que f(x,y)=x2y2+h(y)f (x, y) = x^2y^2 + h (y). Derivando ambos lados con respecto a yy produce fy=2x2y+h′(y)f_y = 2x^2y + h^{\prime} (y). Por lo tanto, h′(y)=0h ^{\prime} (y) = 0 y podemos tomar h(y)=0h (y) = 0.

Si f(x,y)=x2y2f (x, y) = x^2y^2, entonces observa que ∇f=⟨2xy2,2x2y⟩=F\nabla f = \lang 2xy^2, 2x^2y\rang = \bold{F}, y por lo tanto ff es una función potencial para F\bold{F}.

Sea (a,b)(a, b) el punto en el que la partícula detiene su movimiento, y sea CC la curva que modela el movimiento de la partícula. El trabajo realizado por F\bold{F} sobre la partícula es ∫CF⋅dr\int_C\bold{F}\cdot d\bold{r}. Según el Teorema Fundamental de las Integrales de Línea,

∫CF⋅dr=∫C∇f⋅dr=f(a,b)−f(0,0)=a2b2\begin{aligned} \int_C\bold{F}\cdot d\bold{r} &= \int_C \nabla f\cdot d\bold{r}\\ &= f(a,b) - f(0,0)\\ &= a^2b^2 \end{aligned}

Dado que a  =  0a\;\cancel{=}\; 0 y b  =  0b\;\cancel{=}\; 0, por supuesto, a2b2>0.a^2b^2 \gt 0. Por lo tanto, ∫CF⋅dr>0\int_C\bold{F}\cdot d\bold{r} \gt 0, y F\bold{F} realiza un trabajo positivo sobre la partícula.

Análisis

Observa que este problema sería mucho más difícil sin usar el Teorema Fundamental para Integrales de Línea. Para aplicar las herramientas que hemos aprendido, necesitaríamos dar una parametrización de la curva y usar la Ecuación 6.9. Dado que la trayectoria del movimiento CC puede ser tan exótica como queramos (siempre que sea suave), puede ser muy difícil parametrizar el movimiento de la partícula.