Solución

Antes de intentar calcular la integral, necesitamos determinar si F\bold{F} es conservativa y si el dominio de F\bold{F} está conectado simplemente. El dominio de simplemente es todo R3\Reals^3, que está conectado y no tiene agujeros. Por lo tanto, el dominio de simplemente está simplemente conectado. Deja

P(x,y,z)=2xeyz+exz,Q(x,y,z)=x2eyz,     y     R(x,y,z)=x2ey+exP(x,y,z) = 2xe^yz + e^xz, Q(x,y,z) = x^2e^yz,\;\;\text{ y }\;\; R(x,y,z) = x^2e^y + e^x

de modo que F=⟨P,Q,R⟩\bold{F} = \lang P, Q, R\rang. Dado que el dominio de F\bold{F} está simplemente conectado, podemos verificar las parciales cruzadas para determinar si F\bold{F} es conservativa. Ten en cuenta que

Py=2xeyz=QxPz=2xey+ex=RxQz=x2ey=Ry\begin{aligned} P_y &= 2xe^yz = Q_x\\ P_z &= 2xe^y + e^x = R_x\\ Q_z &= x^2e^y = R_y \end{aligned}

Por tanto, F\bold{F} es conservativa.

Para evaluar ∫CF⋅dr\int_C\bold{F}\cdot d\bold{r} usando el Teorema Fundamental para Integrales de Línea, necesitamos encontrar una función potencial ff para F\bold{F}. Sea ff una función potencial para F\bold{F}. Entonces, ∇f=F\nabla f = \bold{F}, y por lo tanto fx=2xeyz+exzf_x = 2xe^yz + e^xz. La integración de esta ecuación con respecto a xx da f(x,y,z)=x2eyz+exz+h(y,z)f (x, y, z) = x^2e^yz + e^xz + h (y, z) para alguna función hh. Diferenciar esta ecuación con respecto a yy da x2eyz+hy=Q=x2eyzx^2e^yz + h_y = Q = x^2e^yz, lo que implica que hy=0h_y = 0. Por lo tanto, hh es una función de zz solamente, y f(x,y,z)=x2eyz+exz+h(z)f (x, y, z) = x^2e^yz + e^xz + h (z ). Para encontrar hh, observa que fz=x2ey+ex+h′(z)=R=x2ey+exf_z = x^2e^y + e^x + h^{\prime} (z) = R = x^2e^y + e^x. Por lo tanto, h′(z)=0h^{\prime} (z) = 0 y podemos tomar h(z)=0h (z) = 0. Una función potencial para F\bold{F} es f(x,y,z)=x2eyz+exzf (x, y, z) = x^2e^yz + e^xz.

Ahora que tenemos una función potencial, podemos usar el Teorema Fundamental para Integrales de Línea para evaluar la integral. Por el teorema,

∫CF⋅dr=∫C∇f⋅dr=f(1,1,1)−f(0,0,0)=2e\begin{aligned} \int_C\bold{F}\cdot d\bold{r} &= \int_C \nabla f\cdot d\bold{r}\\ &= f(1,1,1) - f(0,0,0)\\ &= 2e \end{aligned}

Análisis

Observa que si no hubiéramos reconocido que F\bold{F} es conservativa, habríamos tenido que parametrizar CC y usar la Ecuación 6.9. Dado que la curva CC es desconocida, usar el Teorema Fundamental para Integrales de Línea es mucho más simple.