Solución

Supón que ff es una función potencial. Entonces, ∇f=F\nabla f = \bold{F} y por lo tanto

fx=−Gx(x2+y2)3/2f_x = \frac{-Gx}{\big(x^2+y^2\big)^{3/2}}

Para integrar esta función con respecto a xx, podemos usar la sustitución de uu. Si u=x2+y2u = x^2 + y^2, entonces du2=xdx\frac{du}{2} = xdx, entonces

∫−Gx(x2+y2)3/2dx=∫−G2u3/2du=∫Gu+h(y)=Gx2+y2+h(y)\begin{aligned} \int \frac{-Gx}{\big(x^2+y^2\big)^{3/2}}dx &= \int \frac{-G}{2u^{3/2}}du\\ &= \int \frac{G}{\sqrt{u}} + h(y)\\ &= \frac{G}{\sqrt{x^2+y^2}} + h(y) \end{aligned}

para alguna función h(y)h (y). Por lo tanto,

f(x,y)=Gx2+y2+h(y)f(x,y) = \frac{G}{\sqrt{x^2+y^2}} + h(y)

Dado que ff es una función potencial para F\bold{F}

fy=−Gyx2+y2f_y = \frac{-Gy}{\sqrt{x^2+y^2}}

Dado que f(x,y)=Gx2+y2+h(y) f (x, y) = \frac{G}{\sqrt{x^2+y^2}} + h(y), fyf_y también es igual a −Gyx2+y2+h′(y)\frac{-Gy}{\sqrt{x^2+y^2}} + h^{\prime}(y)

Por lo tanto

−Gyx2+y2+h′(y)=−Gyx2+y2\frac{-Gy}{\sqrt{x^2+y^2}} + h^{\prime}(y) = \frac{-Gy}{\sqrt{x^2+y^2}}

lo que implica que h′(y)=0h^{\prime}(y) = 0. Por tanto, podemos tomar h(y)h (y) como cualquier constante; en particular, podemos dejar h(y)=0h (y) = 0.

La función

f(x,y)=Gx2+y2f(x,y) = \frac{G}{\sqrt{x^2+y^2}}

es una función potencial para el campo gravitacional F\bold{F}. Para confirmar que ff es una función potencial, ten en cuenta que

∇f=⟨−12G(x2+y2)3/2(2x),−12G(x2+y2)3/2(2y)⟩=⟨−Gx(x2+y2)3/2,−Gy(x2+y2)3/2⟩=F\begin{aligned} \nabla f &= \bigg\lang -\frac12 \frac{G}{(x^2+y^2)^{3/2}}(2x), -\frac12 \frac{G}{(x^2+y^2)^{3/2}}(2y)\bigg\rang\\ &= \bigg\lang \frac{-Gx}{(x^2+y^2)^{3/2}}, \frac{-Gy}{(x^2+y^2)^{3/2}}\bigg\rang\\ &= \bold{F} \end{aligned}