Solución

Supón que ff es una función potencial. Entonces, ∇f=F\nabla f = \bold{F} y por lo tanto fx=2xyf_x = 2xy. La integración de esta ecuación con respecto a xx produce la ecuación f(x,y,z)=x2y+g(y,z)f (x, y, z) = x^2y + g (y, z) para alguna función gg. Observa que, en este caso, la constante de integración con respecto a xx es una función de yy y zz. Dado que ff es una función potencial,

x2+2yz3=fy=x2+gyx^2 + 2yz^3 = f_y = x^2 + g_y

Por lo tanto

gy=2yz3g_y = 2yz^3

para alguna función h(z)h (z) de solo zz (observa que, debido a que sabemos que gg es una función de solo yy y zz, no necesitamos escribir g(y,z)=y2z3+h(x,z))g (y, z) = y^2z^3 + h (x, z)). Por lo tanto,

f(x,y,z)=x2y+g(y,z)=x2y+y2z3+h(z)f(x,y,z) = x^2y + g(y,z) = x^2y + y^2z^3 + h(z)

Para encontrar ff, ahora solo debemos encontrar hh. Dado que ff es una función potencial,

3y2z2+2z=gz=3y2z2+h′(z)3y^2z^2 + 2z = g_z = 3y^2z^2 + h^{\prime}(z)

Esto implica que h′(z)=2zh^{\prime} (z) = 2z, entonces h(z)=z2+Ch (z) = z^2 + C. Dejando C=0C = 0 da la función potencial

f(x,y,z)=x2y+y2z3+z2f(x,y,z) = x^2y + y^2z^3 + z^2

Para verificar que ff es una función potencial, observa que ∇f=⟨2xy,x2+2yz3,3y2z2+2z⟩=F\nabla f = \lang 2xy, x^2 + 2yz^3, 3y^2z^2 + 2z\rang = \bold{F}.