Solución

Podemos indicar que F\bold{F} no es conservativo mostrando que F\bold{F} no es independiente de la trayectoria. Lo hacemos dando dos caminos diferentes, C1C_1 y C2C_2, que comienzan en (0,0)(0, 0) y terminan en (1,1)(1, 1), y sin embargo ∫C1F⋅dr=∫C2F⋅dr\int_{C_1}\bold{F}\cdot d\bold{r} \cancel{=} \int_{C_2}\bold{F}\cdot d\bold{r}. Sea C1C_1 la curva con parametrización r1(t)=⟨t,t⟩,0≤t≤1\bold{r}_1 (t) = \lang t, t\rang, 0 \le t \le 1 y sea C2C_2 la curva con parametrización r2(t)=⟨t,t2⟩,0≤t≤1\bold{r}_2 (t) = \lang t, t^2\rang , 0 \le t \le 1 (Figura 6.31). Luego

∫C1F⋅dr=∫01F(r1(t))⋅r1′(t)dt=∫01⟨t3,t+5⟩⋅⟨1,1⟩dt=∫01(t3+t+5)dt=[t44+t22+5t]01=234\begin{aligned} \int_{C_1}\bold{F}\cdot d\bold{r} &= \int_0^1 \bold{F}(\bold{r}_1(t))\cdot \bold{r}_1^{\prime}(t)dt\\ &= \int_0^1 \lang t^3, t+5\rang\cdot \lang 1,1\rang dt = \int_0^1\big( t^3+t+5\big)dt\\ &= \bigg[\frac{t^4}{4} + \frac{t^2}{2} + 5t\bigg]_0^1 = \frac{23}{4} \end{aligned}

y

∫C2F⋅dr=∫01F(r2(t))⋅r2′(t)dt=∫01⟨t4,t2+5⟩⋅⟨1,2t⟩dt=∫01(t4+2t3+10t)dt=[t55+t42+5t2]01=5710\begin{aligned} \int_{C_2}\bold{F}\cdot d\bold{r} &= \int_0^1 \bold{F}(\bold{r}_2(t))\cdot \bold{r}_2^{\prime}(t)dt\\ &= \int_0^1 \lang t^4, t^2+5\rang\cdot \lang 1,2t\rang dt = \int_0^1\big( t^4+2t^3+10t\big)dt\\ &= \bigg[\frac{t^5}{5} + \frac{t^4}{2} + 5t^2\bigg]_0^1 = \frac{57}{10} \end{aligned}

Dado que ∫C1F⋅dr=∫C2F⋅dr\int_{C_1}\bold{F}\cdot d\bold{r} \cancel{=} \int_{C_2}\bold{F}\cdot d\bold{r}, el valor de una integral de línea de F\bold{F} depende de la trayectoria entre dos puntos dados. Por tanto, F\bold{F} no es independiente del camino y F\bold{F} no es conservativo.

Figura 6.31. Las curvas C1C_1 y C2C_2 están orientadas de izquierda a derecha.