Solución

El trabajo realizado por F\bold{F} sobre la partícula es la circulación de F\bold{F} a lo largo de C:∮CF⋅TdsC: \oint_C\bold{F}\cdot\bold{T} ds. Usamos la parametrización r(t)=⟨2cos  t,2sen  t⟩,0≤t≤2π\bold{r} (t) = \lang 2 cos\; t, 2 sen\; t\rang, 0 \le t \le 2\pi para CC. Entonces, r′(t)=⟨−2sen  t,2cos  t⟩\bold{r}^{\prime}(t) = \lang −2 sen\; t, 2 cos\; t\rang y F(r(t))=⟨−2,2sen  t⟩\bold{F} (\bold{r} ( t)) = \lang −2, 2 sen\; t\rang. Por lo tanto, la circulación de F\bold{F} a lo largo de CC es

∮CF⋅Tds=∫02π⟨−2,2sen  t⟩⋅⟨−2sen  t,2cos  t⟩dt=∫02π(4sen t+4sen  tcos  t)dt=[−4cos  t+4sen2t]02π=(−4cos(2π)+2sen2(2π))−(−4cos(0)+4sen2(0))=−4+4=0\begin{aligned} \oint_C\bold{F}\cdot\bold{T} ds &= \int_0^{2\pi} \lang −2, 2 sen\; t \rang \cdot \lang −2 sen\; t, 2 cos\; t \rang dt\\ &= \int_0^{2\pi} (4 sen\: t + 4 sen \;t cos\; t)dt\\ &= \bigg[-4cos\;t + 4sen^2t\bigg]_0^{2\pi}\\ &= \big(−4 cos(2\pi) + 2 sen^2(2\pi)\big) − \big(−4 cos(0) + 4 sen^2(0)\big)\\ &= - 4 + 4 = 0 \end{aligned}

El campo de fuerza no realiza ningún trabajo sobre la partícula. Observa que la circulación de F\bold{F} a lo largo de CC es cero. Además, observa que dado que F\bold{F} es el gradiente de f(x,y)=−2x+y22f (x, y) = −2x + \frac{y^2}{2}, F\bold{F} es conservativo. Demostramos en una sección posterior que bajo ciertas condiciones generales, la circulación de un campo vectorial conservativo a lo largo de una curva cerrada es cero.