Solución

Usamos la parametrización estándar del círculo unitario: r(t)=⟨cos  t,sen  t⟩,0≤t≤2π\bold{r} (t) = \lang cos\; t, sen\; t\rang, 0 \le t \le 2\pi. Luego, F(r(t))=⟨−sen  t,cos  t⟩\bold{F} (\bold{r} (t)) = \lang −sen\; t, cos\; t\rang y r′(t)=⟨−sen  t,cos  t⟩\bold{r} ^{\prime} (t) = \lang −sen\; t, cos\; t\rang. Por lo tanto, la circulación de F\bold{F} a lo largo de CC es

∮CF⋅Tds=∫02π⟨−sen  t,cos  t⟩⋅⟨−sen  t,cos  t⟩dt=∫02π(sen2t+cos2t)dt=∫02πdt=2π\begin{aligned} \oint_C\bold{F}\cdot\bold{T} ds &= \int_0^{2\pi} \lang −sen\; t, cos\; t\rang \cdot \lang −sen\; t, cos\; t\rang dt\\ &= \int_0^{2\pi} \big(sen^2t + cos^2t\big) dt\\ &= \int_0^{2\pi} dt = 2\pi\end{aligned}

Observa que la circulación es positiva. La razón de esto es que la orientación de CC "fluye" con la dirección de F\bold{F}. En cualquier punto a lo largo del círculo, el vector tangente y el vector F\bold{F} forman un ángulo de menos de 90o90^o, y por lo tanto el producto escalar correspondiente es positivo.