Solución

Para calcular el flujo, primero necesitamos una parametrización del círculo unitario. Podemos utilizar la parametrización estándar r(t)=⟨cos  t,sen  t⟩,0≤t≤2π\bold{r} (t) = \lang cos\; t, sen\; t\rang, 0 \le t \le 2\pi. El vector normal a un círculo unitario es ⟨cos  t,sen  t⟩\lang cos\; t, sen \;t\rang. Por lo tanto, el flujo es

∫CF⋅Nds=∫02π⟨2cos  t,2sen  t⟩⋅⟨cos  t,sen  t⟩dt=∫02π(2cos2t+2sen2t)dt=2∫02π(cos2t+sen2t)dt=2∫02πdt=4π\begin{aligned} \int_C \bold{F}\cdot\bold{N}ds &= \int_0^{2\pi} \lang 2 cos\; t, 2 sen\; t\rang\cdot\lang cos\; t, sen\; t \rang dt\\ &= \int_0^{2\pi} \big(2 cos^2 t + 2 sen^2t\big)dt = 2\int_0^{2\pi} \big(cos^2t + sen^2t\big)dt\\ &= 2\int_0^{2\pi}dt = 4\pi\end{aligned}