Solución

Como en nuestros ejercicios anteriores, para calcular esta integral de línea debemos realizar un cambio de variables para escribir todo en términos de tt. En este caso, la Ecuación 6.10 nos permite realizar este cambio:

∫Czdx+xdy+ydz=∫14(t(2t)+t2(12t)+t)dt=∫14(2t2+t3/22+t)dt=[2t33+t5/25+2t3/23]t=1t=4=79315\begin{aligned} \int_C zdx + xdy + ydz &= \int_1^4\bigg(t(2t) + t^2\bigg(\frac{1}{2\sqrt{t}}\bigg) + \sqrt{t}\bigg)dt\\ &= \int_1^4\bigg(2t^2 + \frac{t^{3/2}}{2} + \sqrt{t}\bigg)dt\\&= \bigg[\frac{2t^3}{3} + \frac{t^{5/2}}{5} + \frac{2t^{3/2}}{3}\bigg]_{t=1}^{t=4}\\ &= \frac{793}{15} \end{aligned}