Solución

Observa que este es el mismo problema que en el ejercicio anterior, excepto por la orientación de la curva. En este ejercicio, la parametrización comienza en r(0)=⟨π,0⟩\bold{r} (0) = \lang \pi, 0\rang y termina en r(π)=⟨0,0⟩\bold{r} (\pi) = \lang 0, 0\rang. Por la ecuación 6.9,

∫CF⋅dr=∫0π⟨−sen  t,cos  t+π⟩⋅⟨−sen  t+π,cos  t⟩dt=∫0π⟨−sen  t,cos  t⟩⋅⟨sen  t,cos  t⟩dt=∫0π(−sen2t−cos2t)dt=∫0π−1dt=−π\begin{aligned} \int_C \bold{F} \cdot d\bold{r} &= \int_0^{\pi} \lang −sen\; t, cos\; t + \pi\rang \cdot \lang −sen\; t + \pi, cos\; t \rang dt\\ &= \int_0^{\pi} \lang −sen\; t, cos\; t \rang \cdot \lang sen\;t, cos\;t\rang dt\\ &= \int_0^{\pi} \big(-sen^2 t - cos^2t\big) dt\\ &= \int_0^{\pi} -1dt\\ &= -\pi\end{aligned}

Observa que esta es la respuesta negativa del ejercicio anterior. Tiene sentido que esta respuesta sea negativa porque la orientación de la curva va en contra del "flujo" del campo vectorial.