Solución

La longitud del cable viene dada por ∫C1ds\displaystyle\int_C1ds, donde CC es la curva con parametrización r\bold{r}. Por lo tanto,

Longitud del cable =∫C1ds=∫04π∣∣r′∣∣dt=∫04π(−sen  t)2+cos2t+tdt=∫04π1+tdt=[2(1+t)3/23]04π=23((1+4π)3/2−1)\begin{aligned} \text{Longitud del cable } &= \int_C1ds\\ &= \int_0^{4\pi} ||\bold{r}^{\prime}||dt\\ &= \int_0^{4\pi}\sqrt{(-sen\;t)^2 + cos^2t + t}dt\\ &= \int_0^{4\pi} \sqrt{1+t}dt\\ &= \bigg[\frac{2(1+t)^{3/2}}{3}\bigg]_0^{4\pi}\\ &= \frac23\big((1+4\pi)^{3/2} -1\big) \end{aligned}