Solución

Como en el ejemplo anterior, usamos la Ecuación 6.8 para calcular la integral con respecto a tt. Ten en cuenta que f(r(t)=cos2(2t)+sen2(2t)+2t=2t+1f(\bold{r} (t) = cos^2 (2t) + sen^2 (2t) + 2t = 2t + 1 y

(x′)2+(y′)2+(z′)2=(−sen  t+cos t+4)=22\begin{aligned} \sqrt{\big(x^{\prime}\big)^2 + \big(y^{\prime}\big)^2 + \big(z^{\prime}\big)^2} &= \sqrt{(−sen \;t + cos\: t + 4)}\\ &= 2\sqrt{2} \end{aligned}

entonces, tenemos

∫C(x2+y2+z)ds=22∫0π(1+2t)dt=22[t+t2]0π=22(π+π2)\begin{aligned} \int_C(x^2+y^2+z)ds &= 2\sqrt{2}\int_0^{\pi} (1+2t)dt\\ &= 2\sqrt{2}\big[t + t^2\big]_0^{\pi}\\ &= 2\sqrt{2}\big(\pi + \pi^2\big) \end{aligned}

Observa que esto concuerda con la respuesta del ejemplo anterior. El cambio de parametrización no modificó el valor de la integral de línea. Las integrales de línea escalar son independientes de la parametrización, siempre que la parametrización recorra la curva exactamente una vez.