Solución

Para calcular una integral de línea escalar, comenzamos por convertir la variable de integración de la longitud del arco ss a tt. Entonces, podemos usar la Ecuación 6.8 para calcular la integral con respecto a tt. Ten en cuenta que f(r(t))=cos2t+sen2t+t=1+tf(\bold{r} (t)) = cos^2t + sen^2t + t = 1 + t y

(x′)2+(y′)2+(z′)2=(−sen  t)2+cos2t+1=2\begin{aligned} \sqrt{\big(x^{\prime}\big)^2 + \big(y^{\prime}\big)^2 + \big(z^{\prime}\big)^2} &= \sqrt{(-sen\;t)^2 + cos^2t + 1}\\ &= \sqrt{2} \end{aligned}

por lo tanto

∫C(c2+y2+z)ds=∫02π(1+t)2dt\int_C (c^2+y^2+z)ds = \int_0^{2\pi} (1+t)\sqrt{2}dt

Observa que la ecuación 6.8 tradujo la integral de línea difícil original en una integral manejable de una sola variable. Ya que

∫02π(1+t)2dt=[2t+2t22]02π=22π+22π2\begin{aligned} \int_0^{2\pi} (1+t)\sqrt{2}dt &= \bigg[\sqrt{2}t + \frac{\sqrt{2}t^2}{2}\bigg]_0^{2\pi}\\ &= 2\sqrt{2}\pi + 2\sqrt{2}\pi^2 \end{aligned}

tenemos

∫C(x2+y2+z)ds)=22π+22π2\int_C (x^2+y^2+z) ds) = 2\sqrt{2}\pi + 2\sqrt{2}\pi^2