Solución

Primero observa la gráfica de la superficie z=272x2y2z = 27 - 2x^2 - y^2 en la figura 5.9(a) y arriba de la región cuadrada R1=[3,3]×[3,3]R_1 = [−3, 3] \times [−3, 3]. Sin embargo, necesitamos el volumen del sólido delimitado por el paraboloide elíptico 2x2+y2+z=272x^2 + y^2 + z = 27, los planos x=3x = 3 e y=3y = 3, y los tres planos de coordenadas.

Figura 5.9. (a) La superficie z=272x2y2z = 27 - 2x^2 - y^2 sobre la región cuadrada R1=[3,3]×[3,3]R_1 = [−3, 3] \times [−3, 3]. (b) El sólido SS se encuentra debajo de la superficie z=272x2y2z = 27 - 2x^2 - y^2 sobre la región cuadrada R2=[0,3]×[0,3]R_2 = [0, 3] \times [0, 3].

Ahora veamos el gráfico de la superficie en la figura 5.9(b). Determinamos el volumen VV evaluando la integral doble sobre R2R_2:

V=RzdA=R(272x2y2)dA=y=0y=3x=0x=3(272x2y2)dA=y=0y=3[27x23x3y2x]x=0x=3dy=y=0y=3(643y2)dy=63yy3y=0y=3=162\begin{aligned} V &= \iint_RzdA = \iint_R(27 − 2x^2 − y^2)dA\\ &= \int_{y=0}^{y=3}\int_{x=0}^{x=3}(27 − 2x^2 − y^2)dA\\ &= \int_{y=0}^{y=3}\bigg[27x - \frac23x^3 - y^2x\bigg]\bigg|_{x=0}^{x=3}dy\\ &= \int_{y=0}^{y=3}(64 - 3y^2)dy = 63y - y^3\bigg|_{y=0}^{y=3} = 162 \end{aligned}