Solución

Como antes, primero encuentra la región RR e imagina la transformación para que sea más fácil obtener los límites de integración después de que se hayan realizado las transformaciones (observa la figura).

Figura 5.76. Transformar la región RR en la región SS para simplificar el cálculo de una integral.

Dado u=x−yu = x - y y v=x+yv = x + y, tenemos x=u+v2x = \frac{u + v}{2} e y=v−u2y = \frac{v - u}{2} y, por tanto, la transformación a utilizar es T(u,v)=(u+v2,v−u2)T (u, v) = \bigg(\frac{u + v}{2}, \frac{v - u}{2}\bigg). Las líneas x+y=1x + y = 1 y x+y=3x + y = 3 se convierten en v=1v = 1 y v=3v = 3, respectivamente. Las curvas x2−y2=1x^2 - y^2 = 1 y x2−y2=−1x^2 - y^2 = −1 se convierten en uv=1uv = 1 y uv=−1uv = −1, respectivamente.

Por tanto, podemos describir la región SS (ver la segunda región en la figura anterior) como

S={(u,v)∣1≤v≤3,−1v≤u≤1v}S = \bigg\lbrace (u,v)|1 \le v \le 3, \frac{-1}{v} \le u \le \frac{1}{v}\bigg\rbrace

El Jacobiano para esta transformación es

J(u,v)=∂(x,y)∂(u,v)=∣∂x∂u∂x∂v∂y∂u∂y∂v∣=∣1/2−1/21/21/2∣=12J(u,v) = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\ \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1/2 & -1/2\\ \\ 1/2 & 1/2 \end{vmatrix} = \frac12

Por lo tanto, al usar la transformación TT, la integral cambia a

∬R(x−y)ex2−y2dA=12∫13∫−1/v1/vueuvdudv\iint_R (x-y)e^{x^2-y^2} dA = \frac12\int_1^3\int_{-1/v}^{1/v} ue^{uv} dudv

Evaluando, obtenemos

12∫13∫−1/v1/vueuvdudv=43e≈0.490\frac12\int_1^3\int_{-1/v}^{1/v} ue^{uv} dudv = \frac{4}{3e} \approx 0.490