Solución

Primero tenemos que encontrar la región de integración. Esta región está delimitada por debajo de y=0y = 0 y por encima por de y=2x−x2y = \sqrt{2x - x^2} (ver la siguiente figura).

Figura 5.76. Cambiar una región de coordenadas rectangulares a polares.

Al cuadrar y recolectar términos, encontramos que la región es la mitad superior del círculo x2+y2−2x=0x^2 + y^2 − 2x = 0, es decir, y2+(x−1)2=1y^2 + (x - 1)^2 = 1. En coordenadas polares, el círculo es r=2cosθr = 2 cos \theta entonces la región de integración en coordenadas polares está limitada por 0≤r≤cosθ0 \le r \le cos \theta y 0≤θ≤π20 \le \theta \le \frac{\pi}{2}.

El jacobiano es J(r,θ)=rJ (r, \theta) = r, como lo calculamos en un ejercicio anterior. Como r≥0r \ge 0, tenemos ∣J(r,θ)∣=r| J (r, \theta) | = r. El integrando x2+y2\sqrt{x^2 + y^2} cambia a rr en coordenadas polares, por lo que la integral iterada doble es

∫02∫02x−x2dydx=∫0π/2∑02cosθr∣J(r,θ)∣drdθ=∫0π/2∫02cosθr2drdθ\int_0^2\int_0^{\sqrt{2x-x^2}} dydx = \int_0^{\pi/2}\sum_0^{2cos\theta} r|J(r,\theta)|drd\theta = \int_0^{\pi/2}\int_0^{2cos\theta} r^2drd\theta