Solución

Dado que rr varía de 00 a 11 en el plano rθr\theta, tenemos un disco circular de radio de 00 a 11 en el plano xyxy. Dado que θ\theta varía de 00 a π/2\pi/2 en el plano rθr\theta, terminamos obteniendo un cuarto de círculo de radio 11 en el primer cuadrante del plano xyxy (ver figura). Por lo tanto, RR es un cuarto de círculo limitado por x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 en el primer cuadrante.

Figura 5.72. Un rectángulo en el plano rθr\theta se mapea en un cuarto de círculo en el plano xyxy

Para mostrar que TT es una transformación uno a uno, supón que T(r1,θ1)=T(r2,θ2)T(r_1, \theta_1) = T(r_2, \theta_2) y demuestra como consecuencia que (r1,θ1)=(r2,θ2)(r_1, \theta_1) = (r_2, \theta_2). En este caso, tenemos

T(r1,θ1)=T(r2,θ2)(x1,y1)=(x2,y2)(r1cosθ1,r1senθ1)=(r2cosθ2,r2senθ2)r1cosθ1=r2cosθ2r1senθ1=r2senθ2\begin{aligned} T(r_1, \theta_1) &= T(r_2, \theta_2)\\ (x_1, y_1) &= (x_2, y_2)\\ (r_1cos\theta_1, r_1sen\theta_1) &= (r_2cos\theta_2, r_2sen\theta_2)\\ r_1cos\theta_1 &= r_2cos\theta_2\\ r_1sen\theta_1 &= r_2sen\theta_2 \end{aligned}

Dividiendo las dos últimas igualdades, obtenemos

r1cosθ1r1senθ1=r2cosθ2r2senθ2cosθ1senθ1=cosθ2senθ2tan  θ1=tan  θ2θ1=θ2\begin{aligned} \frac{r_1cos\theta_1}{r_1sen\theta_1} &= \frac{r_2cos\theta_2}{r_2sen\theta_2}\\ \frac{cos\theta_1}{sen\theta_1} &= \frac{cos\theta_2}{sen\theta_2}\\ tan\;\theta_1 &= tan\;\theta_2\\ \theta_1 &= \theta_2 \end{aligned}

dado que la función tangente es una función uno-uno en el intervalo 0≤θ≤π/20 \le\theta \le \pi/2. Además, como 0<r≤10 \lt r \le 1, tenemos r1=r2,θ1=θ2r_1 = r_2, \theta_1 = \theta_2. Por lo tanto, (r1,θ1=r2,θ2)(r_1, \theta_1 = r_2, \theta_2) y TT es una transformación uno a uno de GG a RR.

Para encontrar T−1(x,y)T^{-1}(x, y) resuelve para r,θr, \theta en términos de x,yx, y. Ya sabemos que r2=x2+y2r^2 = x^2 + y^2 y tan  θ=yxtan\;\theta = \frac{y}{x}. Por tanto, T−1(x,y)=(r,θ)T^{-1}(x, y) = (r, \theta) se define como r=x2+y2r = \sqrt{x^2 + y^2} y θ=tan−1(yx)\theta = tan^{-1}\big(\frac yx\big).