Solución

Una vez más, podemos escribir casi de inmediato los límites de integración y, por lo tanto, podemos proceder rápidamente a evaluar los momentos de inercia. Usando la fórmula enunciada anteriormente, los momentos de inercia del tetraedro QQ alrededor del plano xyxy, el plano xzxz y el plano yzyz son

Ix=Q(y2+z2)ρ(x,y,z)dVI_x = \iiint_Q \big(y^2+z^2\big)\rho(x,y,z)dV Iy=Q(x2+z2)ρ(x,y,z)dVI_y = \iiint_Q \big(x^2+z^2\big)\rho(x,y,z)dV

y

Iz=Q(x2+y2)ρ(x,y,z)dVI_z = \iiint_Q \big(x^2+y^2\big)\rho(x,y,z)dV

con $\roh(x,y,z) = x^2yz$

Procediendo con los cálculos, obtenemos:

Ix=Q(y2+z2)x2yz=x=0x=6y=0y=1/2(6x)z=0z=1/3(6x2y(y2+z2)x2yzdzdydz=117353.343I_x = \iiint_Q \big(y^2+z^2\big)x^2yz = \int_{x=0}^{x=6}\int_{y=0}^{y=1/2(6-x)}\int_{z=0}^{z=1/3(6-x-2y} \big(y^2+z^2\big)x^2yzdzdydz = \frac{117}{35} \approx 3.343 Iy=Q(x2+z2)x2yz=x=0x=6y=0y=1/2(6x)z=0z=1/3(6x2y(x2+z2)x2yzdzdydz=6843519.543I_y = \iiint_Q \big(x^2+z^2\big)x^2yz = \int_{x=0}^{x=6}\int_{y=0}^{y=1/2(6-x)}\int_{z=0}^{z=1/3(6-x-2y} \big(x^2+z^2\big)x^2yzdzdydz = \frac{684}{35} \approx 19.543 Iz=Q(x2+y2)x2yz=x=0x=6y=0y=1/2(6x)z=0z=1/3(6x2y(x2+y2)x2yzdzdydz=7293520.829I_z = \iiint_Q \big(x^2+y^2\big)x^2yz = \int_{x=0}^{x=6}\int_{y=0}^{y=1/2(6-x)}\int_{z=0}^{z=1/3(6-x-2y} \big(x^2+y^2\big)x^2yzdzdydz = \frac{729}{35} \approx 20.829

Por tanto, los momentos de inercia del tetraedro QQ alrededor del plano yzyz, el plano xzxz y el plano xyxy son 117/35,684/35117/35, 684/35 y 729/35729/35, respectivamente.