Solución
Una vez más, podemos escribir casi de inmediato los límites de integración y, por lo tanto, podemos proceder rápidamente a evaluar los momentos de inercia. Usando la fórmula enunciada anteriormente, los momentos de inercia del tetraedro Q alrededor del plano xy, el plano xz y el plano yz son
Ix=∭Q(y2+z2)ρ(x,y,z)dV
Iy=∭Q(x2+z2)ρ(x,y,z)dV
y
Iz=∭Q(x2+y2)ρ(x,y,z)dV
con $\roh(x,y,z) = x^2yz$
Procediendo con los cálculos, obtenemos:
Ix=∭Q(y2+z2)x2yz=∫x=0x=6∫y=0y=1/2(6−x)∫z=0z=1/3(6−x−2y(y2+z2)x2yzdzdydz=35117≈3.343
Iy=∭Q(x2+z2)x2yz=∫x=0x=6∫y=0y=1/2(6−x)∫z=0z=1/3(6−x−2y(x2+z2)x2yzdzdydz=35684≈19.543
Iz=∭Q(x2+y2)x2yz=∫x=0x=6∫y=0y=1/2(6−x)∫z=0z=1/3(6−x−2y(x2+y2)x2yzdzdydz=35729≈20.829
Por tanto, los momentos de inercia del tetraedro Q alrededor del plano yz, el plano xz y el plano xy son 117/35,684/35 y 729/35, respectivamente.