Solución

Hemos usado este tetraedro antes y conocemos los límites de integración, por lo que podemos proceder a los cálculos de inmediato. Primero, necesitamos encontrar los momentos sobre el plano xyxy, el plano xzxz y el plano yzyz:

Mxy=Qzρ(x,y,z)dV=x=0x=6y=0y=1/2(6x)z=0z=1/3(6x2y)x2yz2dzdydx=54351.543M_{xy} = \iiint_Q z\rho(x,y,z)dV = \int_{x=0}^{x=6}\int_{y=0}^{y=1/2(6-x)}\int_{z=0}^{z=1/3(6-x-2y)} x^2yz^2dzdydx = \frac{54}{35} \approx 1.543 Mxz=Qyρ(x,y,z)dV=x=0x=6y=0y=1/2(6x)z=0z=1/3(6x2y)x2y2zdzdydx=81352.314M_{xz} = \iiint_Q y\rho(x,y,z)dV = \int_{x=0}^{x=6}\int_{y=0}^{y=1/2(6-x)}\int_{z=0}^{z=1/3(6-x-2y)} x^2y^2zdzdydx = \frac{81}{35} \approx 2.314 Myz=Qxρ(x,y,z)dV=x=0x=6y=0y=1/2(6x)z=0z=1/3(6x2y)x3yzdzdydx=243356.943M_{yz} = \iiint_Q x\rho(x,y,z)dV = \int_{x=0}^{x=6}\int_{y=0}^{y=1/2(6-x)}\int_{z=0}^{z=1/3(6-x-2y)} x^3yzdzdydx = \frac{243}{35} \approx 6.943

Por lo tanto, el centro de masa es

xˉ=Myzm,yˉ=Mxzm,zˉ=Mxym\bar{x} = \frac{M_{yz}}{m}, \bar{y} = \frac{M_{xz}}{m}, \bar{z} = \frac{M_{xy}}{m} xˉ=Myzm=243/35108/35=2.25\bar{x} = \frac{M_{yz}}{m} = \frac{243/35}{108/35} = 2.25 yˉ=Mxzm=81/35108/35=0.75\bar{y} = \frac{M_{xz}}{m} = \frac{81/35}{108/35} = 0.75 zˉ=Mxym=54/35108/35=0.5\bar{z} = \frac{M_{xy}}{m} = \frac{54/35}{108/35} = 0.5

El centro de masa para el tetraedro QQ es el punto (1.25,0.75,0.5)(1.25, 0.75, 0.5)