Solución

La figura 5.7 muestra cómo funciona el cálculo de dos maneras diferentes.

  1. Primero integra con respecto a yy, luego integra con respecto a xx:
    ∬Rf(x,y)dA=∫x=0x=2∫y=0y=3(3x2−y)dydx=∫x=0x=2(∫y=0y=3(3x2−y)dy)dx=∫x=0x=2[3x2y−y22∣y=0y=3]dx=∫x=0x=2(9x2−92)dx=3x3−92x∣x=0x=2=15\begin{aligned} \iint_Rf(x,y)dA &= \int_{x=0}^{x=2}\int_{y=0}^{y=3}(3x^2-y)dydx\\ &= \int_{x=0}^{x=2}\bigg(\int_{y=0}^{y=3}(3x^2-y)dy\bigg)dx = \int_{x=0}^{x=2}\bigg[3x^2y-\frac{y^2}{2}\bigg|_{y=0}^{y=3}\bigg]dx\\ &= \int_{x=0}^{x=2}\bigg(9x^2-\frac92\bigg)dx = 3x^3 - \frac92x\bigg|_{x=0}^{x=2} = 15 \end{aligned}
  2. Primero integra con respecto a xx, luego integra con respecto a yy:
    ∬Rf(x,y)dA=∫y=0y=3∫x=0x=2(3x2−y)dxdy=∫y=0y=3(∫x=0x=2(3x2−y)dx)dy=∫y=0y=3[x3−xy∣x=0x=2]dy=∫y=0y=3(8−2y)dx=8y−y2∣y=0y=3=15\begin{aligned} \iint_Rf(x,y)dA &= \int_{y=0}^{y=3}\int_{x=0}^{x=2}(3x^2-y)dxdy\\ &= \int_{y=0}^{y=3}\bigg(\int_{x=0}^{x=2}(3x^2-y)dx\bigg)dy = \int_{y=0}^{y=3}\bigg[x^3-xy\bigg|_{x=0}^{x=2}\bigg]dy\\ &= \int_{y=0}^{y=3}(8-2y)dx = 8y - y^2\bigg|_{y=0}^{y=3} = 15 \end{aligned}

Análisis

Con cualquier orden de integración, la integral doble nos da una respuesta de 15. Podríamos interpretar esta respuesta como un volumen en unidades cúbicas del sólido SS debajo de la función f(x,y)=3x2−yf (x, y) = 3x^2 - y sobre la región R=[0,2]×[0,3]R = [0, 2] \times [0, 3]. Sin embargo, recuerda que la interpretación de una integral doble como un volumen (sin signo) funciona solo cuando el integrando ff es una función no negativa sobre la región base RR.