Solución
Utilizando las expresiones establecidas anteriormente para los momentos de inercia, tenemos
I
x
=
∬
R
y
2
ρ
(
x
,
y
)
d
A
=
∫
x
=
0
x
=
2
∫
y
=
0
y
=
x
x
y
3
d
y
d
x
=
8
3
I_x = \iint_R y^2 \rho(x,y)dA = \int_{x=0}^{x=2}\int_{y=0}^{y=x} xy^3dydx = \frac83
I
x
=
∬
R
y
2
ρ
(
x
,
y
)
d
A
=
∫
x
=
0
x
=
2
∫
y
=
0
y
=
x
x
y
3
d
y
d
x
=
3
8
I
y
=
∬
R
x
2
ρ
(
x
,
y
)
d
A
=
∫
x
=
0
x
=
2
∫
y
=
0
y
=
x
x
3
y
d
y
d
x
=
16
3
I_y = \iint_R x^2 \rho(x,y)dA = \int_{x=0}^{x=2}\int_{y=0}^{y=x} x^3ydydx = \frac{16}{3}
I
y
=
∬
R
x
2
ρ
(
x
,
y
)
d
A
=
∫
x
=
0
x
=
2
∫
y
=
0
y
=
x
x
3
y
d
y
d
x
=
3
16
I
0
=
∬
R
(
x
2
+
y
2
)
ρ
(
x
,
y
)
d
A
=
∫
0
2
∫
0
x
(
x
2
+
y
2
)
x
y
d
y
d
x
=
I
x
+
I
y
=
8
I_0 = \iint_R (x^2+y^2) \rho(x,y)dA = \int_0^2\int_0^x(x^2+y^2)xydydx = I_x + I_y = 8
I
0
=
∬
R
(
x
2
+
y
2
)
ρ
(
x
,
y
)
d
A
=
∫
0
2
∫
0
x
(
x
2
+
y
2
)
x
y
d
y
d
x
=
I
x
+
I
y
=
8