Solución

Usando las fórmulas que desarrollamos, tenemos.

xˉ=Mym=∬Rxρ(x,y)dA∬Rρ(x,y)dA=81/2027/8=65\bar{x} = \frac{M_y}{m} = \frac{\iint_R x\rho(x, y)dA}{\iint_R \rho(x, y)dA} = \frac{81/20}{27/8} = \frac{6}{5} yˉ=Mxm=∬Ryρ(x,y)dA∬Rρ(x,y)dA=81/2027/8=65\bar{y} = \frac{M_x}{m} = \frac{\iint_R y\rho(x, y)dA}{\iint_R \rho(x, y)dA} = \frac{81/20}{27/8} = \frac{6}{5}

Por tanto, el centro de masa es el punto (65,65)(\frac{6}{5}, \frac{6}{5}).

Análisis

Si elegimos la densidad ρ(x,y)\rho (x, y) en lugar de ser uniforme en toda la región (es decir, constante), como el valor 1 (cualquier constante servirá), entonces podemos calcular el centroide,

xc=Mym=∬RxdA∬RdA=9/29/2=1x_c = \frac{M_y}{m} = \frac{\iint_R xdA}{\iint_R dA} = \frac{9/2}{9/2} = 1 yc=Mxm=∬RydA∬RdA=9/29/2=1y_c = \frac{M_x}{m} = \frac{\iint_R ydA}{\iint_R dA} = \frac{9/2}{9/2} = 1

Observe que el centro de masa (65,65)(\frac{6}{5}, \frac{6}{5}) no es exactamente el mismo que el centroide (1,1)(1, 1) de la región triangular. Esto se debe a la densidad variable de RR. Si la densidad es constante, simplemente usamos ρ(x,y)=c\rho (x, y) = c (constante). Este valor se cancela de las fórmulas, por lo que para una densidad constante, el centro de masa coincide con el centroide de la lámina.