Solución

De nuevo usamos simetría y evaluamos el volumen del elipsoide usando coordenadas esféricas. Como antes, usamos el primer octante $x \ge 0, y \ge 0$ y $z \ge 0$ y luego multiplicamos el resultado por $8$ .

En este caso, los rangos de las variables son

0 \le \phi \le \pi/2, 0 \le \rho \le \pi/2, 0 \le \rho \le 1,\;\;\text{y}\;\; 0 \le \theta\le\pi2

Además, necesitamos cambiar las coordenadas rectangulares a esféricas de esta manera:

x = a\rho cos \phi sen \theta, y = b\rho sen \phi sen \theta,\;\;\; \text{y}\;\;\; z = c\rho cos \theta

Entonces el volumen del elipsoide se vuelve

\begin{aligned} V &= \iiint_D dxdydz\\ &= 8 \int_{\theta=0}^{\theta=\pi/2}\int_{\rho=0}^{\rho=1}\int_{\phi=0}^{\phi=\pi/2} abc\rho^2sen\theta d\phi d\rho d\theta\\ &= 8abc \int_{\phi=0}^{\phi=\pi/2}\int_{\rho=0}^{\rho=1}\rho^2d^rho \int_{\theta=0}^{\theta=\pi/2}sen\theta d\theta\\&= 8abc\bigg(\frac{\pi}{2}\bigg)\bigg(\frac13\bigg)(1)\\ &= 8abc \int_{\phi=0}^{\phi=\pi/2}\int_{\rho=0}^{\rho=1}\rho^2d^rho \int_{\theta=0}^{\theta=\pi/2}sen\theta d\theta\\&= 8abc\bigg(\frac{\pi}{2}\bigg)\bigg(\frac13\bigg)(1)\\ &= \frac43\pi abc \end{aligned}