Solución

Calculamos el volumen de la bola en el primer octante, donde x≥0,y≥0x \ge 0, y \ge 0 y z≥0z \ge 0, usando coordenadas esféricas, y luego multiplicamos el resultado por 88 para la simetría. Dado que consideramos la región DD como el primer octante en la integral, los rangos de las variables son

0≤ϕ≤π2,0≤ρ≤r,0≤θ≤π20 \le \phi \le \frac{\pi}{2}, 0 \le \rho \le r, 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}

Entonces,

V=∭Ddxdydz=8∫θ=0θ=π/2∫ρ=0rho=π∫ϕ=0ϕ=π/2ρ2senθdϕdρdθ=8∫ϕ=0ϕ=π/2dϕ∫rho=0rho=r∫θ=0θ=π/2senθdθ=8(π2)(r33)(1)=43πr3\begin{aligned} V &= \iiint_D dxdydz = 8\int_{\theta=0}^{\theta=\pi/2}\int_{\rho=0}^{rho=\pi}\int_{\phi=0}^{\phi=\pi/2}\rho^2sen\theta d\phi d\rho d\theta\\ &= 8\int_{\phi=0}^{\phi=\pi/2}d\phi \int_{rho=0}^{rho=r}\int_{\theta=0}^{\theta=\pi/2} sen\theta d\theta\\&= 8\big(\frac{\pi}{2}\big)\bigg(\frac{r^3}{3}\bigg)(1)\\ &= \frac43\pi r^3 \end{aligned}

Esto coincide exactamente con lo que sabíamos. Entonces, para una esfera con un radio de aproximadamente 5050 pies, el volumen es 43π(50)3≈523,600    pies3\frac43π (50)^3 \approx 523,600\;\; \text{pies}^3.