Solución

Los rangos de las variables son

0≤y≤30≤x≤9−y2x2+y2≤z≤18−x2−y2\begin{aligned} 0 & \le y \le 3\\ 0 & \le x \le \sqrt{9-y^2}\\ \sqrt{x^2+y^2} & \le z \le \sqrt{18-x^2-y^2} \end{aligned}

Los dos primeros rangos de variables describen un cuarto de disco en el primer cuadrante del plano xyxy. Por tanto, el rango para θ\theta es 0≤θ≤π20 \le \theta ≤ \frac{\pi}{2}.

El límite inferior z=x2+y2z = \sqrt{x^2 + y^2} es la mitad superior de un cono y el límite superior z=18−x2−y2z = \sqrt{18 - x^2 −y^2} es la mitad superior de una esfera. Por lo tanto, tenemos 0≤ρ≤180 \le \rho \le 18, que es 0≤ρ≤320 \le \rho \le 3\sqrt{2}.

Para los rangos de ϕ\phi, necesitamos encontrar dónde se cruzan el cono y la esfera, así que resuelve la ecuación

r2+z2=18(x2+y2)2+z2=18z2+z2=182z2=18z2=18z=3\begin{aligned} r^2+z^2 &= 18\\ \big(\sqrt{x^2+y^2}\big)^2+z^2 &= 18\\ z^2+z^2 &= 18\\ 2z^2 &= 18\\ z^2 &= 18\\ z &= 3 \end{aligned}

Co esto, obtenemos

32cosϕ=3cosϕ=12ϕ=π4\begin{aligned} 3\sqrt{2}cos\phi &= 3\\ cos\phi &= \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \phi &= \frac{\pi}{4} \end{aligned}

Juntando esto, obtenemos

∫y=0y=3∫x=0x=9−y2∫z=x2+y218−x2−y2(x2+y2+z2)dzdxdy=∫ϕ=0ϕ=π/4∫θ=0θ=π/2∫ρ=0ρ=32ρ4senϕdρdθdϕ\int_{y=0}^{y=3}\int_{x=0}^{x=\sqrt{9-y^2}}\int_{z=\sqrt{x^2+y^2}}^{\sqrt{18-x^2-y^2}}(x^2+y^2+z^2) dz dx dy = \int_{\phi=0}^{\phi=\pi/4}\int_{\theta=0}^{\theta=\pi/2}\int_{\rho=0}^{\rho=3\sqrt{2}}\rho^4 sen\phi d\rho d\theta d\phi