Solución

Los rangos de las variables son

−1≤y≤10≤x≤1−y2x2+y2≤z≤x2+y2\begin{aligned} -1 & \le y \le 1\\ 0 & \le x \le \sqrt{1-y^2}\\ x^2+y^2 & \le z \le \sqrt{x^2+y^2} \end{aligned}

Las dos primeras desigualdades describen la mitad derecha de un círculo de radio 1. Por lo tanto, los rangos para θθ y rr son

−π2≤θπ2      y      0≤r≤1- \frac{\pi}{2} \le \theta \frac{\pi}{2}\;\;\;\text{y}\;\;\; 0 \le r \le 1

Los límites de zz son r2≤z≤rr^2 \le z \le r, por lo tanto

∫y=−1y=1∫x=0x=1−y2∫z=x2+y2x2+y2xyzdzdxdy=∫θ=−π/2θ=π/2∫r=0r=1∫z=r2z=rr(rcosθ)(rsenθ)zdzdrdθ\int_{y=-1}^{y=1}\int_{x=0}^{x=\sqrt{1-y^2}}\int_{z=x^2+y^2}^{\sqrt{x^2+y^2}}xyz dz dx dy = \int_{\theta=-\pi/2}^{\theta=\pi/2}\int_{r=0}^{r=1}\int_{z=r^2}^{z=r}r(r cos \theta)(r sen \theta)z dz dr d\theta