Solución

Este es un gran ejemplo para la propiedad vivi porque la función f(x,y)f (x, y) es claramente el producto de dos funciones de variable única eye^y y cosxcos x. Por lo tanto, podemos dividir la integral en dos partes y luego integrar cada una como un único problema de integración variable.

∬ReycosxdA=∫01∫0π/2eycosxdxdy=(∫01eydy)(∫0π/2cosxdx)=(ey∣01)((senx∣0π/2)=e−1\begin{aligned} \iint_R e^ycosxdA &= \int_0^1\int_0^{\pi /2} e^ycosx dxdy\\ &= \bigg(\int_0^1e^ydy\bigg)\bigg(\int_0^{\pi /2}cosx dx\bigg)\\ &= \bigg(e^y\bigg|_0^1\bigg)(\bigg(sen x\bigg|_0^{\pi /2}\bigg)\\ &= e-1 \end{aligned}