Solución

Usando las fórmulas de conversión de coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas, tenemos:

Para el cono: z=3(x2+y2)      z = \sqrt{3\big(x^2 + y^2\big)}\;\;\; o       ρcosϕ=3ρsenϕ      \;\;\;\rho cos\phi = \sqrt{3}\rho sen\phi\;\;\; o       tanϕ=13      \;\;\;tan\phi = \frac{1}{\sqrt{3}}\;\;\; o       ϕ=π6\;\;\;\phi=\frac{\pi}{6}

Para la esfera: z=4x2y2      z = \sqrt{4 - x^2 - y^2}\;\;\; o       z2+x2+y2=4      \;\;\;z^2+x^2+y^2 = 4\;\;\; o       ρ2=4      \;\;\;\rho^2=4\;\;\; o       ρ=2\;\;\;\rho=2

Por tanto, la integral triple del volumen es

V(E)=θ=0θ=2πϕ=0ϕ=π/6ρ=0ρ=2ρ2senϕdρdϕdθV (E) = \int_{\theta=0}^{\theta=2\pi}\int_{\phi=0}^{\phi=\pi/6}\int_{\rho=0}^{\rho=2}\rho^2 sen\phi d\rho d\phi d\theta