Solución

  1. Observa que la ecuación de la esfera es
    x2+y2+z2=4      o      r2+z2=4x^2 + y^2 + z^2 = 4\;\;\;\text{o}\;\;\; r^2 + z^2 = 4 y la ecuación para el cilindro es x2+y2=1      o      r2=1x^2 + y^2 = 1\;\;\;\text{o}\;\;\; r^2 = 1 Así, tenemos para la región EE E={(r,θ,z)0z4r2,0r1,0θ2π}E = \lbrace (r, \theta, z)|0 \le z \le \sqrt{4 − r^2}, 0 \le r \le 1, 0 \le \theta \le 2\pi\rbrace
  2. Por lo tanto, la integral del volumen es V(E)=θ=0θ=2πr=0r=1z=0z=4r2rdzdrdθ=θ=0θ=2πr=0r=1[rzz=0z=4r2]drdθ=θ=0θ=2πr=0r=1(r4r2)drdθ=02π(833)dθ=2π(833)      unidades cuˊbicas\begin{aligned} V(E) &= \int_{\theta=0}^{\theta = 2\pi}\int_{r=0}^{r=1}\int_{z=0}^{z=\sqrt{4-r^2}}r dz dr d\theta\\ &= \int_{\theta=0}^{\theta = 2\pi}\int_{r=0}^{r=1}\bigg[rz\bigg|_{z=0}^{z=\sqrt{4-r^2}}\bigg]drd\theta = \int_{\theta=0}^{\theta = 2\pi}\int_{r=0}^{r=1}\big(r\sqrt{4-r^2}\big)drd\theta\\ &= \int_0^{2\pi}\bigg(\frac83 - \sqrt{3}\bigg)d\theta = 2\pi \bigg(\frac83 - \sqrt{3}\bigg)\;\;\;\text{unidades cúbicas} \end{aligned}
  3. Dado que la esfera es x2+y2+z2=4x^2 + y^2 + z^2 = 4, que es r2+z2=4r^2 + z^2 = 4, y el cilindro es x2+y2=1x^2 + y^2 = 1, que es r2=1r^2 = 1, tenemos 1+z2=41 + z^2 = 4, es decir, z2=3z^2 = 3. Por lo tanto, tenemos dos regiones, ya que la esfera y el cilindro se intersecan en (1,3)(1, \sqrt{3}) en el plano rzrz E1={(r,θ,z)0r4r2,3z2,0θ2πE_1 = \lbrace (r, \theta, z)|0 \le r \le \sqrt{4 − r^2}, \sqrt{3} \le z \le 2, 0 \le \theta \le 2\pi y E2={(r,θ,z)0r1,0z3,0θ2πE_2 = \lbrace (r, \theta, z)|0 \le r \le 1, 0 \le z \le \sqrt{3}, 0 \le \theta \le 2\pi Por lo tanto, la integral del volumen es V(E)=θ=0θ=2πz=3z=2r=0r=4r2rdrdzdθ+θ=0θ=2πz=0z=3r=0r=1rdrdzdθ=3π+(16333)π=2π(833)      unidades cuˊbicas\begin{aligned} V(E) &= \int_{\theta=0}^{\theta = 2\pi}\int_{z=\sqrt{3}}^{z=2}\int_{r=0}^{r=\sqrt{4-r^2}} rdrdzd\theta + \int_{\theta=0}^{\theta = 2\pi}\int_{z=0}^{z=\sqrt{3}}\int_{r=0}^{r=1}rdrdzd\theta\\ &= \sqrt{3}\pi + \bigg(\frac{16}{3} - 3\sqrt{3}\bigg)\pi = 2\pi \bigg(\frac83 - \sqrt{3}\bigg)\;\;\;\text{unidades cúbicas} \end{aligned}