Observa que la ecuación de la esfera es x2+y2+z2=4or2+z2=4
y la ecuación para el cilindro es
x2+y2=1or2=1
Así, tenemos para la región EE={(r,θ,z)∣0≤z≤4−r2,0≤r≤1,0≤θ≤2π}
Por lo tanto, la integral del volumen es
V(E)=∫θ=0θ=2π∫r=0r=1∫z=0z=4−r2rdzdrdθ=∫θ=0θ=2π∫r=0r=1[rz∣∣z=0z=4−r2]drdθ=∫θ=0θ=2π∫r=0r=1(r4−r2)drdθ=∫02π(38−3)dθ=2π(38−3)unidades cuˊbicas
Dado que la esfera es x2+y2+z2=4, que es r2+z2=4, y el cilindro es x2+y2=1, que es r2=1, tenemos 1+z2=4, es decir, z2=3. Por lo tanto, tenemos dos regiones, ya que la esfera y el cilindro se intersecan en (1,3) en el plano rzE1={(r,θ,z)∣0≤r≤4−r2,3≤z≤2,0≤θ≤2π
y
E2={(r,θ,z)∣0≤r≤1,0≤z≤3,0≤θ≤2π
Por lo tanto, la integral del volumen es
V(E)=∫θ=0θ=2π∫z=3z=2∫r=0r=4−r2rdrdzdθ+∫θ=0θ=2π∫z=0z=3∫r=0r=1rdrdzdθ=3π+(316−33)π=2π(38−3)unidades cuˊbicas