Solución

Primero, identifica que la ecuación para la esfera es r2+z2=16r^2 + z^2 = 16. Podemos ver que los límites para zz son de 00 a z=16−r2z = \sqrt{16 - r^2}. Entonces los límites para rr son de 0a0 a r = 2 sen \theta.Finalmente,loslıˊmitespara. Finalmente, los límites para \thetasonde son de 0a a \pi$. Por lo tanto, la región es

E={(r,θ,z)∣0≤θ≤π,0≤r≤2senθ,0≤z≤16−r2}E = \lbrace (r, \theta, z)|0 \le \theta \le \pi, 0 \le r \le 2 sen \theta, 0 \le z \le \sqrt{16 − r^2}\rbrace

Por tanto, la integral triple es

∭Ef(r,θ,z)rdzdrdθ=∫θ=0θ=π∫r=0r=2senθ∫z=0z=16−r2f(r,θ,z)rdzdrdθ\iiint_E f(r, \theta, z)r dz dr d\theta = \int_{\theta =0}^{\theta =\pi}\int_{r=0}^{r=2sen\theta}\int_{z=0}^{z=\sqrt{16-r^2}}f(r, \theta, z)r dz dr d\theta.