Solución
Como se indica en el teorema de Fubini, podemos escribir la integral triple como la integral iterada
∭ B ( z r s e n θ ) r d r d θ d z = ∫ θ = 0 θ = π / 2 ∫ z = 0 z = 4 ( z r s e n θ ) r d z d r d θ \iiint_B(zr sen \theta)r dr d\theta dz = \int_{\theta=0}^{\theta=\pi /2}\int_{z=0}^{z=4}(zr sen \theta)r dz dr d\theta ∭ B ( zrse n θ ) r d r d θ d z = ∫ θ = 0 θ = π /2 ∫ z = 0 z = 4 ( zrse n θ ) r d z d r d θ La evaluación de la integral iterada es sencilla. Cada variable de la integral es independiente de las demás, por lo que podemos integrar cada variable por separado y multiplicar los resultados. Esto facilita mucho el cálculo:
∫ θ = 0 θ = π / 2 ∫ z = 0 z = 4 ( z r s e n θ ) r d z d r d θ = ( ∫ 0 π / 2 s e n θ d θ ) ( ∫ 0 2 r 2 d r ) ( ∫ 0 4 z d z ) = ( − c o s θ ∣ 0 π / 2 ) ( r 3 3 ∣ 0 2 ) ( z 2 2 ∣ 0 4 ) = 64 3 \int_{\theta =0}^{\theta= \pi /2}\int_{z=0}^{z=4}(zr sen \theta)r dz dr d\theta\\
= \bigg(\int_0^{\pi /2}sen\theta d\theta\bigg)\bigg(\int_0^2r^2dr\bigg)\bigg(\int_0^4zdz\bigg) = \bigg(-cos\theta\bigg|_0^{\pi /2}\bigg)\bigg(\frac{r^3}{3}\bigg|_0^2\bigg)\bigg(\frac{z^2}{2}\bigg|_0^4\bigg) = \frac{64}{3} ∫ θ = 0 θ = π /2 ∫ z = 0 z = 4 ( zrse n θ ) r d z d r d θ = ( ∫ 0 π /2 se n θ d θ ) ( ∫ 0 2 r 2 d r ) ( ∫ 0 4 z d z ) = ( − cos θ ∣ ∣ 0 π /2 ) ( 3 r 3 ∣ ∣ 0 2 ) ( 2 z 2 ∣ ∣ 0 4 ) = 3 64