Solución

Usa el teorema dado anteriormente y la integral triple para encontrar el numerador y el denominador. Luego haz la división. Observa que el plano x+y+z=1x + y + z = 1 tiene intersecciones (1,0,0),(0,1,0)(1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0,0,1)(0, 0, 1). La región EE se parece a

E={(x,y,z)∣0≤x≤1,0≤y≤1−x,0≤z≤1−x−y}E = \lbrace (x, y, z)|0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1 − x, 0 \le z \le 1 − x − y\rbrace

Entonces la integral triple de la temperatura es

∭Ef(x,y,z)dV=∫x=0x=1∫y=0y=1−x∫z=0z=1−x−y(xy+8z+20)dzdydx=14740\iiint_E f(x,y,z)dV = \int_{x=0}^{x=1} \int_{y=0}^{y=1-x}\int_{z=0}^{z=1-x-y} (xy+8z+20)dzdydx = \frac{147}{40}

La evaluación del volumen es

V(E)=∭E1dV=∫x=0x=1∫y=0y=1−x∫z=0z=1−x−y1dzdydx=16V(E) = \iiint_E 1dV = \int_{x=0}^{x=1} \int_{y=0}^{y=1-x}\int_{z=0}^{z=1-x-y} 1dzdydx = \frac16

Entonces, el valor promedio es

Tprom=147/401/6=6(147)40=4412      grados celsiusT_{prom} = \frac{147/40}{1/6} = \frac{6(147)}{40} = \frac{441}{2}\;\;\;\text{grados celsius}