Solución

En esta pirámide, el valor de zz cambia de 00 a 11, y en cada altura zz, la sección transversal de la pirámide para cualquier valor de zz es el cuadrado [−1+z,1−z]×[−1+z,1−z][−1 + z, 1 - z] \times [−1 + z, 1 - z]. Por tanto, el volumen de la pirámide es ∭E1dV\displaystyle\iiint_E1dV donde

E={(x,y,z)∣0≤z≤1,−1+z≤y≤1−z,−1+z≤x≤1−z}E = \lbrace (x, y, z)|0 \le z \le 1, −1 + z \le y \le 1 − z, −1 + z \le x \le 1 − z\rbrace

Entonces, obtenemos

∭E1dV=∫z=0z=1∫y=1+zy=1−z∫x=1+zx=1−z1dxdydz=∫z=0z=1∫y=1+zy=1−z(2−2z)dydz=∫z=0z=1(2−2z)2dz=43\begin{aligned} \iiint_E 1dV &= \int_{z=0}^{z=1}\int_{y=1+z}^{y=1-z}\int_{x=1+z}^{x=1-z}1dxdydz\\ &= \int_{z=0}^{z=1}\int_{y=1+z}^{y=1-z}(2-2z)dydz\\ &= \int_{z=0}^{z=1}(2-2z)^2dz = \frac43 \end{aligned}

Luego, el volumen de la pirámide es 43\frac43 unidades cúbicas