Solución
El orden no está especificado, pero podemos usar la integral iterada en cualquier orden sin cambiar el nivel de dificultad. Digamos, integrar y y y x x x z z z
∭ B x 2 y z d V = ∫ 1 5 ∫ − 2 1 ∫ 0 3 [ x 2 y z ] d y d x d z = ∫ 1 5 ∫ − 2 1 [ x 2 y 2 2 z ∣ 0 3 ] d x d z = ∫ 1 5 ∫ − 2 1 9 2 x 2 z d x d z = ∫ 1 5 [ 9 2 x 3 3 z ∣ − 2 1 ] d z = ∫ 1 5 27 2 z d z = 27 2 z 2 2 ∣ 1 5 = 162 \begin{aligned}
\iiint_Bx^2yz dV &= \int_1^5\int_{-2}^1\int_0^3[x^2yz]dydxdz = \int_1^5\int_{-2}^1\bigg[x^2\frac{y^2}{2}z\bigg|_0^3\bigg]dxdz\\
&= \int_1^5\int_{-2}^1\frac92x^2zdxdz = \int_1^5\bigg[\frac92\frac{x^3}{3}z\bigg|_{-2}^1\bigg]dz = \int_1^5\frac{27}{2}zdz = \frac{27}{2}\frac{z^2}{2}\bigg|_1^5 = 162
\end{aligned} ∭ B x 2 yz d V = ∫ 1 5 ∫ − 2 1 ∫ 0 3 [ x 2 yz ] d y d x d z = ∫ 1 5 ∫ − 2 1 [ x 2 2 y 2 z ∣ ∣ 0 3 ] d x d z = ∫ 1 5 ∫ − 2 1 2 9 x 2 z d x d z = ∫ 1 5 [ 2 9 3 x 3 z ∣ ∣ − 2 1 ] d z = ∫ 1 5 2 27 z d z = 2 27 2 z 2 ∣ ∣ 1 5 = 162
Ahora intenta integrar en un orden diferente solo para ver que obtenemos la misma respuesta. Elige integrar con respecto a x x x z z z y y y
∭ B x 2 y z d V = ∫ 0 3 ∫ 1 5 ∫ − 2 1 [ x 2 y z ] d x d z d y = ∫ 0 3 ∫ 1 5 [ x 3 3 y z ∣ − 2 1 ] d z d y = ∫ 0 3 ∫ 1 5 3 y z d z d y = ∫ 0 3 [ 3 y z 2 2 ∣ 1 5 ] d y = ∫ 0 3 36 y d y = 36 y 2 2 ∣ 0 3 = 18 ( 9 − 0 ) = 162 \begin{aligned}
\iiint_Bx^2yz dV &= \int_0^3\int_1^5\int_{-2}^1[x^2yz]dxdzdy = \int_0^3\int_1^5\bigg[\frac{x^3}{3}yz\bigg|_{-2}^1\bigg]dzdy\\
&= \int_0^3\int_1^5 3yzdzdy = \int_0^3\bigg[3y\frac{z^2}{2}\bigg|_1^5\bigg]dy\\
&= \int_0^336ydy = 36\frac{y^2}{2}\bigg|_0^3 = 18(9-0) = 162
\end{aligned} ∭ B x 2 yz d V = ∫ 0 3 ∫ 1 5 ∫ − 2 1 [ x 2 yz ] d x d z d y = ∫ 0 3 ∫ 1 5 [ 3 x 3 yz ∣ ∣ − 2 1 ] d z d y = ∫ 0 3 ∫ 1 5 3 yz d z d y = ∫ 0 3 [ 3 y 2 z 2 ∣ ∣ 1 5 ] d y = ∫ 0 3 36 y d y = 36 2 y 2 ∣ ∣ 0 3 = 18 ( 9 − 0 ) = 162