Solución

En primer lugar, dibuja los gráficos de la región (ver la siguiente figura).

Figura 5.39. Encontrar el área encerrada por un círculo y un cardioide.

Podemos ver la simetría de la gráfica que necesitamos para encontrar los puntos de intersección. Al establecer las dos ecuaciones iguales entre sí da

3cosθ=1cosθ3cos\theta = 1 cos\theta

Uno de los puntos de intersección es θ=π3\theta = \frac{\pi}{3}. El área sobre el eje polar consta de dos partes, una parte definida por el cardioide de θ=0\theta = 0 a θ=π/3\theta = \pi / 3 y la otra parte definida por el círculo de θ=π/3\theta = \pi / 3 a θ=π/2\theta = \pi / 2. Por simetría, el área total es dos veces el área sobre el eje polar. Por lo tanto, tenemos

A=[∫θ=0θ=π/3∫r=0r=1+cosθ1rdrdθ+∫θ=π/3θ=π/2∫r=0r=3cosθ1rdrdθ]A = \bigg[\int_{\theta = 0}^{\theta = \pi /3}\int_{r=0}^{r=1+cos\theta}1r dr d\theta + \int_{\theta = \pi /3}^{\theta = \pi /2}\int_{r=0}^{r=3cos\theta}1r dr d\theta\bigg]

Al evaluar cada pieza por separado, encontramos que el área es

A=2(14π+9163+38π−9163)=2(58π)=54π    unidades cuadradasA = 2\bigg(\frac14\pi + \frac{9}{16}\sqrt{3} + \frac38\pi - \frac{9}{16}\sqrt{3}\bigg) = 2\bigg(\frac58\pi\bigg) = \frac54\pi\;\;\text{unidades cuadradas}