Solución

Dibujar la gráfica de la función r=cos4θr = cos 4\theta revela que es una rosa polar con ocho pétalos (ver la siguiente figura).

Figura 5.38. Encontrar el área de una rosa polar con ocho pétalos.

Usando la simetría, podemos ver que necesitamos encontrar el área de un pétalo y luego multiplicarlo por 88. Observa que los valores de θ\theta por los cuales el gráfico pasa por el origen son los ceros de la función cos4θcos 4\theta, y estos son múltiplos impares de π8\frac{\pi}{8}. Por lo tanto, uno de los pétalos corresponde a los valores de θ\theta en el intervalo [−π/8,π/8][−\pi / 8, \pi / 8]. Por lo tanto, el área delimitada por la curva r=cos4θr = cos 4\theta es

A=8∫θ=−π/8θ=π/8∫r=0r=cos4θ1rdrdθ=8∫−π/8π/8[12r2∣0cos4θ]dθ=8∫−π/8π/812cos24θdθ=8[14θ+116sen4θcos4θ∣−π/8π/8]=8[π16]=π2\begin{aligned} A &= 8\int_{\theta=-\pi /8}^{\theta=\pi /8}\int_{r=0}^{r=cos4\theta}1r dr d\theta\\ &= 8\int_{-\pi /8}^{\pi /8} \bigg[\frac12r^2\bigg|_0^{cos4\theta}\bigg]d\theta = 8\int_{-\pi /8}^{\pi /8}\frac12cos^24\theta d\theta \\ &= 8\bigg[\frac14\theta + \frac{1}{16}sen4\theta cos4\theta\bigg|_{-\pi /8}^{\pi /8}\bigg] = 8\bigg[\frac{\pi}{16}\bigg] = \frac{\pi}{2} \end{aligned}