Solución

La región D para la integración es la base del cono, que parece ser un círculo en el plano xyxy (ver la siguiente figura).

Figura 5.37. Encontrar el volumen de un sólido dentro del cono y encima del plano xyxy.

Encontramos la ecuación del círculo estableciendo z=0z = 0:

0=2−x2+y22=x2+y2x2+y2=4\begin{aligned} 0 &= 2-\sqrt{x^2+y^2}\\ 2 &= \sqrt{x^2+y^2}\\ x^2+y^2 &= 4 \end{aligned}

Esto significa que el radio del círculo es 22, por lo que para la integración tenemos 0≤θ≤2π0 \le\theta \le 2\pi y 0≤r≤20 \le r \le 2. Sustituyendo x=rcosθx = r cos\theta e y=rsenθy = r sen \theta en la ecuación z=2−x2+y2z = 2 - \sqrt{x ^2 + y ^2} tenemos z=2−rz = 2 - r. Por lo tanto, el volumen del cono es

∫θ=0θ=2π∫r=0r=2(2−r)rdrdθ=2π43=8π3    unidades cuˊbicas\int_{\theta=0}^{\theta=2\pi}\int_{r=0}^{r=2}(2 − r)r dr d\theta = 2\pi\frac43 = \frac{8\pi}{3}\;\;\text{unidades cúbicas}

Análisis

Observa que si tuviéramos que encontrar el volumen de un cono arbitrario con unidades de radio aa y altura hh, entonces la ecuación del cono sería z=h−hax2+y2z = h - \frac{h}{a}\sqrt{x^2+y^2}.

Todavía podemos usar la figura 5.37 y configurar la integral como ∫θ=0θ=2π∫r=0r=a(h−har)rdrdθ\displaystyle\int_{\theta=0}^{\theta=2\pi}\int_{r=0}^{r=a}(h-\frac{h}{a}r)rdrd\theta.

Evaluando la integral, obtenemos 13πa2h\frac13 \pi a^2h.