Solución

Primero cambia el disco (x−1)2+y2=1(x - 1)^2 + y^2 = 1 a coordenadas polares. Expandiendo el término cuadrado, tenemos x2−2x+1+y2=1x^2 - 2x + 1 + y^2 = 1. Luego simplifica para obtener x2+y2=2xx^2 + y^2 = 2x, que en coordenadas polares se convierte en r2=2rcosθr^2 = 2r cos \theta y luego r=0r = 0 o r=2cosθr = 2 cos \theta. Del mismo modo, la ecuación del paraboloide cambia a z=4−r2z = 4 - r^2. Por lo tanto, podemos describir el disco (x−1)2+y2=1(x - 1)^2 + y^2 = 1 en el plano xyxy como la región

D={(r,θ)∣0≤θ≤π,0≤r≤2cosθ}D = \lbrace (r, \theta)|0 \le \theta \le π, 0 \le r \le 2 cos \theta\rbrace

Por lo tanto, el volumen del sólido limitado arriba por el paraboloide z=4−x2−y2z = 4− x^2 - y^2 y abajo por r=2cosθr = 2 cos \theta es

V=∬Df(r,θ)rdrdθ=∫θ=0θ=π∫r=0r=2cosθ(4−r2)rdrdθ=∫θ=0θ=π[4r22−r44∣02cosθ]dθ=∫0π[8cos2θ−4cos2θ]dθ=[52θ+52senθcosθ−senθcos3θ]0π=52π\begin{aligned} V &= \iint_D f(r, \theta)r dr d\theta = \int_{\theta =0}^{\theta = \pi}\int_{r=0}^{r=2cos\theta}\big(4 − r^2\big)r dr d\theta\\ &= \int_{\theta =0}^{\theta = \pi}\bigg[4\frac{r^2}{2} - \frac{r^4}{4}\bigg|_0^{2cos\theta}\bigg]d\theta\\ &= \int_0^{\pi}\big[8 cos^2\theta − 4 cos^2\theta\big]d\theta = \bigg[\frac52\theta + \frac52 sen \theta cos \theta − sen \theta cos^3\theta\bigg]_0^{\pi} = \frac52\pi \end{aligned}