Solución

Esta función tiene dos piezas: una es xyxy y la otra es 3xy23xy^2. Además, la segunda pieza tiene una constante 33. Observa cómo usamos las propiedades ii y iiii para ayudar a evaluar la integral doble.

∬R(xy−3xy2)dA\displaystyle\iint_R(xy-3xy^2)dA
=∬RxydA−∬R3xy2dA=\displaystyle\iint_RxydA - \iint_R3xy^2dAPropiedad ii: La integral de una suma es la suma de las integrales.
=∫y=1y=2∫x=0x=2xydxdy−∫y=1y=2∫x=0x=23xy2dxdy=\displaystyle\int_{y=1}^{y=2}\int_{x=0}^{x=2}xydxdy - \int_{y=1}^{y=2}\int_{x=0}^{x=2}3xy^2dxdyConvierte integrales dobles en integrales iteradas.
=∫y=1y=2(x22y)∣x=0x=2dy−3∫y=1y=2(x22y2)∣x=0x=2dy=\displaystyle\int_{y=1}^{y=2}\bigg(\frac{x^2}{2}y\bigg)\bigg|_{x=0}^{x=2}dy - 3\int_{y=1}^{y=2}\bigg(\frac{x^2}{2}y^2\bigg)\bigg|_{x=0}^{x=2}dyIntegre con respecto a xx, manteniendo yy constante.
=∫y=1y=22ydy−∫y=1y=26y2dy=\displaystyle\int_{y=1}^{y=2}2ydy - \int_{y=1}^{y=2}6y^2dyPropiedad iiii: Colocando la constante antes de la integral.
=2∫y=1y=2ydy−6∫y=1y=2y2dy=\displaystyle 2\int_{y=1}^{y=2}ydy - 6\int_{y=1}^{y=2}y^2dyIntegrar con respecto a y.
=2y22∣12dy−6y33∣12dy=2\frac{y^2}{2}\bigg|_1^2dy - 6\frac{y^3}{3}\bigg|_1^2dy
=y2∣12dy−2y3∣12dy=y^2\bigg|_1^2dy - 2y^3\bigg|_1^2dy
=(4−1)−2(8−1)= (4 − 1) − 2(8 − 1)
=3−2(7)=3−14=−11.= 3 − 2(7) = 3 − 14 = −11.