Solución

Mediante el método de doble integración, podemos ver que el volumen es la integral iterada de la forma ∬R(1−x2−y2)dA\displaystyle\iint_R(1 - x^2 - y^2) dA donde R={(r,θ)∣0≤r≤1,0≤θ≤2π}R = \lbrace (r, \theta) | 0 \le r \le 1, 0 \le \theta \le 2\pi\rbrace.

La solución ya la vimos en un ejercicio anterior; sin embargo, la repetimos:

La región RR es un círculo unitario, por lo que podemos describirla como R={(r,θ)∣0≤r≤1,0≤θ≤2π}R = \lbrace (r, \theta) | 0 \le r \le 1, 0 \le \theta \le 2\pi\rbrace. Usando la conversión x=rcosθ,y=rsenθx = r cos \theta, y = r sen \theta, y dA=rdrdθdA = r dr d\theta, tenemos

∬R(1−x2−y2)dA=∫02π∫01(1−r2)rdrdθ=∫02π∫01(r−r3)drdθ=∫02π[r22−r44]01dθ=∫02π14dθ=π2\begin{aligned} \iint_R(1 - x^2 - y^2)dA &= \int_0^{2\pi}\int_0^1\big(1 − r^2\big)r dr d\theta = \int_0^{2\pi}\int_0^1\big(r − r^3\big)dr d\theta\\ &= \int_0^{2\pi}\bigg[\frac{r^2}{2} - \frac{r^4}{4}\bigg]_0^1d\theta = \int_0^{2\pi}\frac14 d\theta = \frac{\pi}{2} \end{aligned}