Solución
Usando el primer cuadrante del plano de coordenadas rectangular como el espacio muestral, tenemos integrales impropias para E ( X ) E (X) E ( X ) E ( Y ) E (Y) E ( Y )
E ( X ) = ∬ S x 1 600 e − x / 15 e − y / 40 d A = 1 600 ∫ x = 0 x = ∞ ∫ y = 0 y = ∞ x e − x / 15 e − y / 40 d A = 1 600 lim ( a , b ) → ( ∞ , ∞ ) ∫ x = 0 x = a ∫ y = 0 y = b x e − x / 15 e − y / 40 d x d y = 1 600 ( lim a → ∞ ∫ x = 0 x = a x e − x / 15 d x ) ( lim b → ∞ ∫ y = 0 y = b e − y / 40 d y ) = 1 600 ( ( lim a → ∞ ( − 15 e − x / 15 ( x + 15 ) ) ) ∣ x = 0 x = a ) ( ( lim b → ∞ ( − 40 e − y / 40 ) ) ∣ y = 0 y = b ) = 1 600 ( lim a → ∞ ( − 15 e − a / 15 ( x + 15 ) + 225 ) ) ( lim b → ∞ ( − 40 e − b / 40 + 40 ) ) = 1 600 ( 225 ) ( 40 ) = 15 \begin{aligned}
E(X) &= \iint_S x\frac{1}{600}e^{-x/15}e^{-y/40}dA = \frac{1}{600}\int_{x=0}^{x=\infin}\int_{y=0}^{y=\infin}xe^{-x/15}e^{-y/40}dA\\
&= \frac{1}{600}\lim\limits_{(a, b) \to (\infin, \infin)}\int_{x=0}^{x=a}\int_{y=0}^{y=b}xe^{-x/15}e^{-y/40}dxdy\\
&= \frac{1}{600}\bigg(\lim\limits_{a \to \infin}\int_{x=0}^{x=a}xe^{-x/15}dx\bigg)\bigg(\lim\limits_{b \to \infin}\int_{y=0}^{y=b}e^{-y/40}dy\bigg)\\
&= \frac{1}{600}\big((\lim\limits_{a \to \infin}(-15e^{-x/15} (x+15))\big)\bigg|_{x=0}^{x=a}\big) \bigg(\big(\lim\limits_{b \to \infin}\big(-40e^{-y/40}\big)\big)\bigg|_{y=0}^{y=b}\bigg)\\
&=\frac{1}{600}\big(\lim\limits_{a \to \infin}\big(-15e^{-a/15}(x+15)+225)\big)\bigg(\lim\limits_{b \to \infin}\big(-40e^{-b/40}+40\big)\bigg)\\
&= \frac{1}{600}(225)(40)\\
&= 15
\end{aligned} E ( X ) = ∬ S x 600 1 e − x /15 e − y /40 d A = 600 1 ∫ x = 0 x = ∞ ∫ y = 0 y = ∞ x e − x /15 e − y /40 d A = 600 1 ( a , b ) → ( ∞ , ∞ ) lim ∫ x = 0 x = a ∫ y = 0 y = b x e − x /15 e − y /40 d x d y = 600 1 ( a → ∞ lim ∫ x = 0 x = a x e − x /15 d x ) ( b → ∞ lim ∫ y = 0 y = b e − y /40 d y ) = 600 1 ( ( a → ∞ lim ( − 15 e − x /15 ( x + 15 )) ) ∣ ∣ x = 0 x = a ) ( ( b → ∞ lim ( − 40 e − y /40 ) ) ∣ ∣ y = 0 y = b ) = 600 1 ( a → ∞ lim ( − 15 e − a /15 ( x + 15 ) + 225 ) ) ( b → ∞ lim ( − 40 e − b /40 + 40 ) ) = 600 1 ( 225 ) ( 40 ) = 15 Un cálculo similar muestra que E ( Y ) = 40 E (Y) = 40 E ( Y ) = 40