Solución

El sólido es un tetraedro con la base en el plano $xy$ y una altura $z = 6 - 2x - 3y$ . La base es la región $D$ limitada por las líneas, $x = 0, y = 0$ y $2x + 3y = 6$ donde $z = 0$ (Figura 5.23). Ten en cuenta que podemos considerar la región $D$ como Tipo I o Tipo II, y podemos integrarlas de ambas maneras.

Figura 5.23. Un tetraedro que consta de los tres planos de coordenadas y el plano $z = 6 - 2x - 3y$ , con la base unida por $x = 0, y = 0$ y $2x + 3y = 6$ .

Primero, considera $D$ como una región Tipo I y, por lo tanto, $D = \lbrace (x, y) | 0 \le x \le 3, 0 \le y \le 2 - \frac23x\rbrace$ .

Por lo tanto, el volumen es

\begin{aligned} V &= \int_{x=0}^{x=3}\int_{y=0}^{y=2- 2x/3} (6 - 2x - 3y)dydx = \int_{x=0}^{x=3}\bigg[\big(6y - 2xy - \frac32y^2\big)\bigg|_{y=0}^{y=2-2x/3}\bigg]dx\\ &= \int_{x=0}^{x=3}\bigg[\frac23(x-3)^2\bigg]dx = 6 \end{aligned}

Ahora considera $D$ como una región de Tipo II, entonces $D = \lbrace (x, y) | 0 \le y \le 2, 0 \le x \le 3 - \frac32y\rbrace$ . En este cálculo, el volumen es

\begin{aligned} V &= \int_{y=0}^{y=2}\int_{x=0}^{x=3-3y/2} (6 - 2x - 3y)dxdy = \int_{y=0}^{y=2}\bigg[(6x - x^2 - 3xy)\bigg|_{x=0}^{x=3-3y/2}\bigg]dy\\ &= \int_{y=0}^{y=2}\bigg[\frac94(y-2)^2\bigg]dy = 6 \end{aligned}