Solución

Un bosquejo de la región aparece en la figura 5.22.

Figura 5.22. Una región triangular R para integrarse de dos maneras.

Podemos completar esta integración de dos maneras diferentes.

  1. Una forma de verlo es integrando primero yy desde y=0y = 0 a y=1−xy = 1 - x verticalmente y luego integrando xx desde x=0x = 0 a x=1x = 1:
    ∬Rf(x,y)dxdy=∫x=0x=1∫y=0y=1−x(x−2y)dydx=∫x=0x=1[xy−2y2]∣y=0y=1−xdx=∫x=0x=1[x(1−x)−(1−x)2]dx=∫x=0x=1[−1+3x−2x2]dx=[−x+32x2−23x3]x=0x=1=−16\begin{aligned} \iint_R f(x, y)dxdy &= \int_{x=0}^{x=1}\int_{y=0}^{y=1-x} (x-2y)dydx = \int_{x=0}^{x=1}\big[xy - 2y^2\big]\bigg|_{y=0}^{y=1-x}dx\\ &= \int_{x=0}^{x=1}\big[x(1 − x) − (1 − x)^2\big]dx = \int_{x=0}^{x=1}\big[-1+3x-2x^2\big]dx\\ &= \bigg[-x + \frac32x^2 - \frac23x^3\bigg]_{x=0}^{x=1} = -\frac16\\ \end{aligned}
  2. La otra forma de resolver este problema es integrando primero xx desde x=0x = 0 a x=1−yx = 1 - y horizontalmente y luego integrando yy desde y=0y = 0 a y=1y = 1:
    ∬Rf(x,y)dxdy=∫y=0y=1∫x=0x=1−y(x−2y)dxdy=∫y=0y=1[12x2−2xy]x=0x=1−ydy=∫y=0y=1[12(1−y)2−2y(1−y)]dy=∫y=0y=1[12−3y+52y2]dy=[12y−32y2+56y3]y=0y=1=−16\begin{aligned} \iint_R f(x, y)dxdy &= \int_{y=0}^{y=1}\int_{x=0}^{x=1-y} (x-2y)dxdy = \int_{y=0}^{y=1}\bigg[\frac12x^2 - 2xy\bigg]_{x=0}^{x=1-y}dy\\ &= \int_{y=0}^{y=1}\bigg[\frac12(1-y)^2 - 2y(1-y)\bigg]dy = \int_{y=0}^{y=1}\bigg[\frac12 - 3y + \frac52y^2\bigg]dy\\ &= \bigg[\frac12y - \frac32y^2 + \frac56y^3\bigg]_{y=0}^{y=1} = -\frac16 \end{aligned}