Solución

La región presentada es de Tipo I. Para revertir el orden de integración, primero debemos expresar la región como Tipo II. Consulta figura 5.21.

Figura 5.21. Convertir una región de Tipo I a Tipo II.

Podemos ver desde los límites de la integración que la región está limitada arriba por y=2−x2y = 2 - x^2 y abajo por y=0y = 0, donde xx está en el intervalo [0,2][0, \sqrt{2}]. Al invertir el orden, tenemos la región limitada a la izquierda por x=0x = 0 y a la derecha por x=2−yx = \sqrt{2 - y} donde yy está en el intervalo [0,2][0, 2]. Resolvemos y=2−x2y = 2 - x^2 en términos de xx para obtener x=2−yx = \sqrt{2 - y}.

Entonces,

∫02∫02−x2xex2dydx=∫02∫02−yxex2dxdy=∫02[12ex2∣02−y]dy=∫0212(e2−y−1)dy=−12(e2−y+y)∣02=12(e2−3)\begin{aligned} \int_0^{\sqrt{2}}\int_{0}^{2-x^2} xe^{x^2}dydx &= \int_0^{2}\int_{0}^{\sqrt{2-y}} xe^{x^2}dxdy\\ &= \int_0^{2}\bigg[\frac12ex^2\bigg|_0^{\sqrt2-y}\bigg]dy = \int_0^{2}\frac12\big(e^{2-y}-1\big)dy = -\frac12\big(e^{2-y}+y\big)\bigg|_0^2\\ &= \frac12\big(e^2-3\big) \end{aligned}